Home / Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımı / 1. Derece Homojen Diferansiyellerin Çözümü

1. Derece Homojen Diferansiyellerin Çözümü

Birinci dereceden homojen diferansiyel denklemler genel olarak y = ux dönüşümü ile çözülmektedir. Kendilerine has bir görünüş biçimleri vardır, bölüm şeklinde yazılırlar.

Yukarıdaki format kafanızı karıştırmasın. Yani genel olarak x’li ifadelerle y’li ifadelerin bölümü şeklindedir. Bu tip soruları çözerken genel olarak x/y veya y/x’li ifadeleri yakalarız ve bunlara u deriz. Daha sonra y’ (y’nin türevi) ifadesini bu dönüşüm üzerinden yazar ve çözüme gideriz. Şimdi y = ux dönüşümünü biraz açalım. Aşağıdaki görsele bakın;

1. Derece Homojen Diferansiyel Denklem Örnek Soru ve Çözümü

 

Birinci Dereceden Homojen Diferansiyel Denklem Soru Çözümü

1. Adım: y/x görümüz yere u yazarız.

2. Adım: y‘li ifadeyi yalnız bırakıp y’ ifadesini buluruz.

y’ yerine yukarıdaki ifadeyi koyalım.

3. Adım: u’lu ifadeleri bir tarafa, x’li ifadeleri bir tarafa toplayalım. (u’lar zaten gidecek)

Yukarıda bilmemiz gereken temel olaya 1/tan(u) direkt olarak cot(u)’ya eşittir. Bu yüzden aşağıdaki gibi yazabiliriz.

2 tarafın da integralini alalım. (yukarıdaki iki denklemde de x’in yanında dx olmalı, unutmuşum)

Tanjant ve Cotanjantın integralini hatırlamadıysanız aşağıdaki nota bakın;

 

Karşılıklı integralleri aldığımız zaman aşağıdaki sonuç çıkacaktır.

ln’li bir ifadeyi (mesela lnx) ln’den kurtarmak istiyorsak (yani yalnızca x kalsın istiyorsak), e üstelini alırız. e üzeri lnx (e^lnx) şeklinde yazarız. Bu şekilde yazdığımızda ln yanındaki ifade ne ise sonucumuz o olur (e^lnx = x). Yalnız unutmayın bir tarafın üstelini alırken, diğer tarafın da üstelini almalısınız.

Yukarıdaki nottaki mantıkla iki tarafında e üstelini alalım;

Dikkat edin yalnızca lnx’in e üstelini alsaydık elimizde x olacaktı, ancak ifademiz lnx+c olduğunu için aynen kaldı.

Şimdi temel olayımız u’yu yalnız bırakmak. sin’li bir ifadeyi kurtarmak için tersini alırız. yani siny = f(x) ise arcsinx = y olur  Yukarıdaki denkleme uygularsak geriye u kalacak.

y/x = u dediğimizi umarım unutmadınız 🙂 denklemde u’nun karşılığı yerine koyun, y’nin karşılığı genel çözümümüzdür.

[/box]

One comment

  1. Elinize sağlık. Güzel bir anlatım olmuş.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir