Home / Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımı / 1. Dereceden Lineer Diferansiyel Denklemlerin Çözümü (İntegral Çarpanı Metodu)

1. Dereceden Lineer Diferansiyel Denklemlerin Çözümü (İntegral Çarpanı Metodu)

Birinci dereceden Lineer Diferansiyel denklemler nasıl çözülür buna bakacağız. Bu tip denklemler için İntegral Çarpanı Metodu da denmektedir. Aslında İntegral çarpanı metodu lineer diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılan bir yöntemdir.

Kısa Yol

İçerik

Her iki tarafı da aşağıdaki çarpanla çarp

Bunun sonucunda çıkan sonuç

gibi bir ifade olacaktır. Biz bu ifadeyi, iki tarafın da integralini alarak rahatlıkla çözebiliriz.

Peki bu Integral Çarpanı Nereden geliyor? Bunu bir ispat edelim. Belki bana inanmazsınız 🙂

İntegral Çarpanı İspatı

Birinci Dereceden Lineer denklemlerin genel görünümü aşağıdaki çekildedir.

Buradaki P(x) ve Q(x) x’e bağlı bir fonksiyondur. Yani y terimi içermez. Şimdi biz bu biçimde denklemi çözemiyoruz. Bunu çözebilmek için belli bir formata getirmemiz gerekiyor. Yani sol tarafı eğer ayrılabilir diferansiyel denklemlerde olduğu gibi bir hale getirirsek soruyu çözebiliriz.

Uyanığın birisi demiş ki, ben bu denklemin iki tarafını da u gibi bir ifade ile çarpayım.

şimdi u.y’ gibi bir ifade var. Bu bir şeye benziyor. Neye? eğer biz u.y ifadesinin türevini alırsak çarpanlardan birisi bu olur. Yani (u.v)’ = uy’ + u’y şeklinde bir şey olur. E bu bizim denklemimizde var. Ne yok peki? u’y yok. O halde biz u.P(x).y ifadesini u’.y ifadesine eşitleyelim demişler. Daha sonra bu denklemi aşağıdaki gibi çözmüşler. (simetri hastaları bakmasın)

NOT: Eğer denklemin bir tarafında ln|u| şeklinde bir ifade varsa, e üstelini alırsak geriye yalnızca u kalır. Tabii eşitlik bozulmasın diye karşı tarafın da e üstelini alırız.

Biz bunca işlemi boşuna yapmadık. Denklemin sol tarafını u.y’nin türevi haline getirdik. biz iki tarafın da integralini alıp kolayca çözüme gideceğiz. Şimdi bir örnek yapalım.

Birinci Dereceden Lineer Diferansiyel Denklemler Örnek Soru

1. Adım: Her seferinde ispat üzerinden gitmeye gerek yok, ilk adımda P(x) değerini tespit etmeliyiz. P(x) demek y’nin katsayısı demektir. Yani P(x) = -1’dir

2. Adım: Şimdi e üzeri integral içerisinde P(x)dx işlemini çözelim.

3. Adım: Bulduğumuz sonucu denklemin iki tarafıyla da çarpalım.

4. Adım: Ispatta gösterdiğimiz üzere yukarıdaki işlemden sonra çıkan sonuç integral çarpanı ile y’nin çarpımının türevine eşittir.

5. Adım: İki tarafın da integralini alırsak ve denklemi çözersek;

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir