Home / Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımı / Bernoulli Diferansiyel Denklemleri

Bernoulli Diferansiyel Denklemleri

Bernoulli Diferansiyel denklemleri genel görünüm itibariyle 1. dereceden lineer diferansiyel denklemlere benzer ancak lineer değildir. Sebebi de y üssü n (y^n) gibi bir ifadenin bulunmasıdır. Aşağıda Bernoulli Diferansiyel denklemlerinin genel görünümünü görebilirsiniz.

Burada Q(x)’in yanında bulunan y^n bizim için sıkıntıdır. Bunu yok etmemiz gerekmektedir. Eğer denklemin iki tarafını da y^-n (y üzeri -n) ile çarparsak bundan kurtuluruz ve aşağıdaki formatı elde ederiz.

Bu format üzerinde y^1-n (y üzeri 1-n) dönüşümü uygularız. Buradan y’yi, y üzeri -n’i ve y’nin türevini buluruz. Bu anlatımda ispata girmeyeceğim. İlgili dönüşümü uyguladıktan sonra aşağıdaki sonucu buluruz.

Biz Bernoulli Diferansiyel denklemi sorularında yukarıdaki dönüşümü uygulayarak, integral çarpanı yöntemiyle soruyu rahatlıkla çözebiliriz. Unutmayın, u dediğimiz şey y^(n-1) (y üzeri n-1) dir.

Bernoulli Diferansiyel Denklemi Örnek Soru ve Çözümü

Sorunun Çözümü

1. Adım: üslü y ifadesi tespit edilir. y’nin üssüne n deriz. (burada n = 2)

2. Adım: y^1-n = u dönüşümü yaparız. n = 2 olduğu için u = y^-1 (y üzeri -1) olur.

3. Adım: Genel Dönüşüm sonucumuzu uygulayacak olursak;

u ‘nun türevini alalım.

Şimdi yerlerine koyalım.

 

 

her tarafı -1 ile çarpalım.

4. Adım: Artık denklemimiz integral çarpanıyla çözülebilecek bir hale geldi. Burada bize lazım olan P(x) = – x/4 şeklinde.

denklemin iki tarafını da bu ifade ile çarpalım.

Bu ifade integral çarpanı formülü gereği aşağıdaki formata dönüşecektir. (düzeltme yukarıdaki -x^7 olmayacak, -x üzeri -1 olacak. aşağıdaki resim gibi yani)

İki tarafın da integralini alırsak

u’yu yalnız bırakacak olursak

u = y^-1 di. Buradan y’yi rahatlıkla aşağıdaki gibi çözeriz. (Düzeltme x üzeri -4 değil x üzeri 4 olmalı)

 

 

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir