Home / Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımı / Tam Diferansiyel Denklemler

Tam Diferansiyel Denklemler

Birinci dereceden diferansiyel denklemlerin çözüm yöntemlerinden bir tanesi de Tam Diferansiyel denklemlerdir. Tam diferansiyel denklemler görünüş itibariyle aşağıdaki formatta yazılmaktadır.

M ve N burada fonksiyonlardır. Biraz daha ayrıntı vermek gerekirse, x ve y’ye bağlı kapalı fonksiyonlar olduklarını söyleyebiliriz. Peki görünüş formatı yeterli mi? biz bir denklemin tam diferansiyel denklem olduğunu nereden anlarız? Bunu anlamak için, M fonksiyonun y’ye göre, N fonksiyonun ise x’e göre türevi alınır. Eğer bu sonuçlar eşitse Tam diferansiyel denklem oldukları söylenir.

Yukarıda yapılan işlem kısmi türev alma işlemidir. Kapalı bir fonksiyonun kısmi türevleri alınmıştır. Kısmi türev alırken türevi alınmayan değişken hesaba katılmaz. Birazdan örneklerimizde de göreceksiniz. Ama şu anda Tam Diferansiyel denklemler nasıl çözülür bunu inceleyeceğiz. Eğer diferansiyel denklemin tam olduğunu görürsek aşağıdaki şekilde devam edebiliriz. (NOT: Tam olmayan Diferansiyel Denklemleri Tam Diferansiyel Denklem Haline Getirme konusuna da bakmayı unutmayın)

Yukarıdaki eşitlik üzerinden Tam diferansiyel denklemleri çözeriz. Tabii örneksiz olmaz, örnek üzerinden giderek Tam Diferansiyel Denklemler konusunu pekiştirelim.

Tam Diferansiyel Denklemler Örnek Soru Çözümü

ÇÖZÜM

1. Adım: Öncelikli olarak M ve N değerlerini bulalım

2. Adım: Şimdi diferansiyel denklem tam mı bunu kontrol edelim.

Gördüğünüz üzere eşitlik sağlandığına göre Bu Bir Diferansiyel Denklemdir.

2. Adım: size öncede söylemiştik, tekrar edelim. Çözüme giden yok aşağıdaki eşitlikten geçer.

Yani M Fonksiyonunun x’e göre integrali, N Fonksiyonunun y’ye göre integraline eşittir.

Şimdi M Fonksiyonunun x’e göre, N Fonksiyonunun y’ye göre integralini alalım.

Soru çözümünün en güzel tarafına geldik. C(x) ve C(y) değerlerini bulacağız. Şimdi buraya dikkat edin.

C(x) = integral M.dx eşitliğindeki SADECE X İÇEREN TERİMLER’e eşittir. Yani C(x) = -x^3

C(y) = integral N.dy eşitliğindeki SADECE Y İÇEREN TERİMLERE eşittir. Yani C(y) = y^2+y

Herhangi bir denklemde C fonksiyonumuzu yerine koymak, genel çözümü bulmamızı sağlayacaktır. Çünkü bu iki fonksiyon zaten eşittir.

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir