Home / Diferansiyel Denklemler Konu Anlatımı / Tam Diferansiyel Olmayan Denklemleri Tam Hale Getirme (İntegrasyon Çarpanı Yöntemi)

Tam Diferansiyel Olmayan Denklemleri Tam Hale Getirme (İntegrasyon Çarpanı Yöntemi)

Size daha önce tam diferansiyel denklemler konusundan bahsetmiştik. Bu dersimizde ise Tam hale getirilebilen diferansiyel denklemler konusundan bahsedeceğiz. Eğer tam olmayan diferansiyel denklem nasıl çözülür diye soruyorsanız doğru adrestesiniz.

Tam olmayan diferansiyel denklemler, görünüş olarak tam diferansiyel denklemlere benzerler. Yani yine Mdx + Ndy = 0 formatındadırlar. Ancak kontrol ettiğimizde tam diferansiyel denklem olmadıkları görürüz. Ancak bu bir sorun değildir, biz bu diferansiyel denklemleri tam hale getirebiliriz.

UYARI: Tam Diferansiyel Denklemler konusunu bilmeden bu konuyu anlamanız imkansızdır. Konuyla ilgili harika bir ders hazırladık. Örnek soru çözümü de gerçekleştirdik. Tam Diferansiyel Denklemler konumuza göz atabilirsiniz. Eğer biliyorsanız devam edelim.

Tam Olmayan Diferansiyel Denklemi Nasıl Anlarız?

size verilen soruda diferansiyel denklemin tam olup olmadığıyla ilgili bilgi verilmeyebilir. Bunun öğrenci tarafından anlaşılması istenir. Bunu sizin kontrol etmeniz gereklidir. Öncelikli olarak Tam Diferansiyel denklem neydi ona bir bakalım.

Peki Diferansiyel Denklemin tam olup olmadığını nasıl anlıyorduk?

Yani M Fonksiyonunun y’ye göre türevi, N Fonksiyonunun x’e göre türevine eşit değilse  bu diferansiyel denklem tam diferansiyel denklem değildir deriz. Eğer eşit olsalardı, bu bir Tam Diferansiyel Denklemdir. Tam olmamasına karşın, Integral çarpanı yöntemiyle diferansiyel denklemi çözmemiz mümkündür.

Yukarıdaki eşitlikler geçerli olmak üzere;

Yukarıdaki iki şarttan yalnızca birinin sağlanması bize bu tam olmayan diferansiyel denklemin integral çarpanı yöntemiyle çözülebileceğini gösterir.

Sadece x’e bağlı fonksiyon demek, hiçbir şekilde y içermeyen fonksiyon demektir. Sabit sayılar buna dahil değildir. Eğer sonuç sabitse (2 gibi bir sayıysa mesela) bu yine x’e bağlı kabul edilir. y için de aynı şeyler geçerlidir.

Eğer yukarıdaki şartlardan en az biri sağlanıyorsa, integral çarpanı alabiliriz demiştik. Peki nasıl alıyoruz? Aşağıdaki şarta hemen bakalım.

Biz sorularımızı çözerken, integral çarpanımızı yukarıya göre alacağız. İntegral çarpanı aldıktan sonra denklemimiz tam diferansiyel denklem haline gelecektir. Bu aşamadan sonra denklemi Tam Diferansiyel Denklem sorusu çözermiş gibi çözebiliriz. Şimdi örnek soru çözelim.

Tam Olmayan Diferansiyel Denklemi Tam Hale Getirme Örnek Soru

Tam Olmayan Diferansiyel Denklemi Tam Hale Getirme Örnek Soru Çözümü

1. Adım: Diferansiyel denklem tam mı buna bakarız. Yani M Fonksiyonunun y’ye göre türevi eşit mi N fonksiyonunun x’e göre türevine?

 

Yukarıdan da gördüğünüz üzere, eşitlik sağlanmıyor. Bu yüzden tam diferansiyel denklem haline getirmemiz gerekir. Bunun için integral çarpanını bulmamız gerekmekte.

2. Adım: Aşağıdaki ifadeyi kontrol ederiz. Eğer yalnızca x’li sonuç geliyorsa, integral çarpanımızı ona göre belirleyeceğiz. Eğer sadece x’li çıkmazsa bunu geçip size yukarıda konu anlatımında verdiğimiz ikinci denklemi kontrol edip yalnızca y’li sonuç çıktı mı ona bakacağız. Şartlardan yalnızca birinin sağlanması yeterlidir. biri sağlanıyorsa diğerine bakmaya gerek yoktur.,

Buradan integral Çarpanını Bulalım;

3. Adım: Bulduğumuz integral çarpanını denklemin iki tarafıyla da çarparız.

Not: Denklemi kontrol ederseniz, bu haliyle tam diferansiyel denklem olduğunu göreceksiniz.

4. Adım: Artık bu adımda çözüm işlemini uygularız. Tam diferansiyel denklemlerde çözüme aşağıdaki şekilden gittiğimizi unutmayın.

Yani M’nin x’e göre integrali, N’nin y’ye göre integraline eşit olacak.

Ancak M’nin x’e göre integralini alırken x.e^x ifadesinde çarpım şeklindeki ifadelerin integrali işin içerisine girmektedir. Burada Laptü uygulayacağız. Çözüm adımlarına dikkat edelim.

Yukarıda ne yaptığımızı anlatalım. Biz yukarıdaki işlemde M fonksiyonunun x’e göre integralini aldık. y^2e^x ifadesinin x’e göre integralinden yine kendisi gelir, o yüzden aynen kaldı. Ancak x.e^x ifadesinin integrali için Kısmi integral devreye girdi. Bizim işlemimizin uzamasının temel sebebi, kısmi integral almamızdan ötürüdür. Kısmi integralde mesele u’yu bulmaktır. Bu yüzden LAPTÜ uygularız. x polinom olduğu için u = x oldu, dv ise geriye kalan ifade yani e^x şeklinde belirlendi. Bu aşamadan sonra du ve v değerlerini bulup genel kısmi integral formülü üzerinde uyguladık ve denklemimizin sonucunu bulduk. Ancak burada esas dikkat etmemiz gereken C(y) fonksiyonudur. Unutmayın, x’e göre integral alırken, sabitimiz y’ye bağlı bir fonksiyon olmalı.

Şimdi de N fonksiyonunun y’ye göre integralini alalım.

Evet bu aşamadan sonrası kolay, aşağıdaki notu bir okuyup Tam diferansiyel denklemi nasıl çözüyorduk onu hatırlayalım;

C(y) Fonksiyonu, N Fonksiyonunun y’ye göre integralindeki yalnızca y’li terimlerin toplamına Eşittir

C(x) Fonksiyonu, M Fonksiyonunun x’e göre integralindeki yalnızca x’li terimlerin toplamına eşittir. 

Yukarıdaki nota binaen aşağıdaki sonucu buluruz.

Buradaki sonucu her hangi bir denklemde yerine korsak genel çözümü bulmuş oluruz.

 

One comment

  1. Çok güzel bir çalışma olmuş tek kelime ile özverili her işlemin gözükmesi detaylı olması hoşuma gitti yalnız kafamı karıştıran şeyler var…

    En sonda C(x)’i bulurken y’ye göre olan integralden sadece x li terimleri çekmiyor muyduk siz y yazmışsınız sanırım ufak bir hata var. Bir de ilk başlarda kısmi türev yaparken e^2 . y^x yazmışsınız hani sabit olarak dışarı çıkanlarda, oradaki e^2, e^x olmayacak mı? Zaten devam ederken düzelterek gitmişsiniz orası kalmış sanırım. Amacım açığınızı bulmak değil defter kitap karıştırmaktan bir hal oldum umarım farklı bir olay yoktur da anladığım gibidir her şey.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir