Home / Lineer Cebir / Elementer Satır İşlemleri

Elementer Satır İşlemleri

Matrisler lineer denklemleri çözmede kullandığımız yöntemlerden bir tanesidir. Lineer ifadesi burada kritik noktadır, x kare, y küp gibi ifadeler bulunmaz, yalnızca kuvvetleri bir olan değişkenlerle ilgileniriz. Örneğin Aşağıdaki gibi bir denklem sistemimiz olsun.

 

Yukarıda 3 tane denklem bulunmaktadır. Birinci dereceden 3 bilinmeyenli denklemlerdir. Biz bu yapıyı matris halinde yazabiliriz. Yukarıdaki denklemi matris halinde yazmaya kalkarsak aşağıdaki matrisi elde ederiz.

Yukarıdaki matriste dikine kesikli çizgi dikkatinizi çekmiş olmalı. Bu yapıya genişletilmiş matris adı verilmektedir. Bir lineer denklem sistemindeki sonuçları matrise aktarmak istersek bu şekilde aktarırız. Zira Elementer Satır işlemleri sırasında yapacağımız işlemlerde genişletilmiş matris yapısına ihtiyaç duyacağız.

 

Elementer Satır İşlemleri Nedir?

Yukarıdaki bilgiler grizgah amaçlıydı, şimdi elementer satır işlemleri kavramına giriş yapalım. “Satır” ifadesine dikkat edilmesi gerekir. Biz satırlar üzerinde yaptığımız işlemlere elementer satır işlemleri diyoruz. Aşağıdaki çok önemli bilgiyi asla gözden kaçırmayın.

Elementer Satır işlemleri asla denklem sisteminin sonucuna etki etmez, yani sonuçları değiştirmez. İşimizi kolaylaştırmak maksadıyla bu yöntemi uygularız.

Elementer Satır İşlemleri kapsamında bir satırı istediğimiz sayı ile çarparız.

Evet Elementer satır işlemlerinde bir satır istenilen sayı ile çarpılabilir. Sonuç değişmez. Öncelikli olarak yukarıdaki matris sistemindeki satılara bakalım. (Satırları R ile göstereceğiz -row. Satır 1 için R1 gibi)

R1 –> 2 -3 5 | 10

R2 –> 4 2 3 | 15

R3 –> 8 7 1 | 20

Şimdi mesela R1 satırını 2 ile çarpalım. Elementer satır işlemlerini özel bir gösterimle gösterilmesi gerekmektedir. Bu gösterim aşağıdadır.

2R1 –> R1 

Yukarıdaki gösterim 1. Satırı 2 ile çarpmak manasına gelmektedir. Yukarıdaki işlemin sonucu aşağıdaki gibi olur

2R1 –> R1     4 -6 10 | 20

Yukarıdaki işlem sonucu değiştirmez. Neden? Çünkü değişkenlerin sonucu olan (genişletilmiş matris) değerler de aynı sayı ile çarpıldı. şöyle düşünün 2x = 5 ise 4x = 10’dur. x değişir mi? hayır değişmez.

Genişletilmiş Katsayılar Matrisinde Elementer Satır İşlemleri Yaparken İki Satırın Yerini Değiştirebiliriz.

Bize işlem kolaylığı sağlayan bir diğer özellik de Genişletilmiş Katsayılar matrisinde iki satırın yerini değiştirebiliriz. Bu işlem sonuca etki etmez, yani sonucu değiştirmez. Örneğin birinci satır ile ikinci satırın yerini değiştirmek istersek aşağıdaki gibi gösteririz.

R1 <–> R2

Aşağıdaki Matrise

R1 <–> R2 değişimi uygularsak

matrisini elde ederiz. Dikkat edin sonuçlar da (10 ve 15) aynı şekilde yer değiştiriyor. Değilse matrisimiz bozulurdu. Maksat değişkenlerin değerini etkileyecek işlem yapmamak. Matris üzerinde satırların yerini değiştirmek sonuca kesinlikle etki etmez.

Genişletilmiş Katsayılar Matrisinde Herhangi bir satırı başka satıra ekleyebiliriz.

Ekleyebiliriz dediğimize bakmayın, aynı şekilde çıkarabiliriz de. Hatta bir satırı herhangi bir sayı ile çarpıp, başka satıra ekleyebiliriz.

Bu maddede dikkat etmeniz gereken çok önemli bir unsur var. Bir satırı 3 ile çarpıp başka bir satıra eklediğinizde ekleme yaptığınız satır değişir, 3 ile çarptığınız satır aynı şekilde kalır. Değilse sonucu bozarsınız. Ne demek istediğimizi aşağıdaki örneklerde net bir biçimde görebilirsiniz.

Şimdi birkaç örnek yapalım. İlk örneğimiz 1. satır ile 2. satırı toplayıp 2. satırı güncellemek olsun.

R1 + R2 –> R2

Yukarıdaki gösterimde ok işaretinin sol tarafındaki kısım yapılacak olan işlem, sağ tarafındaki kısım ise güncellenecek satırdır. ilk satırımız 2 -3 5 | 10 olsun, ikinci satırımızda 4 2 3 | 15 . R1 + R2 =

(2 + 4) = 6

(-3 + 2) = -1

(5 + 3) = 8

(10 + 15) = 25 olur. Yani güncellenecek satırımız 6 -1 8 | 25 olacaktır.

Şimdi bir tane daha örnek yapalım. 2. satırı -2 ile çarpıp 3. satıra ekleyelim. ikinci satır 4 2 3 | 15, üçüncü satır 8 7 1 | 20

-2R2 + R3 –> R3

-8 + 8 = 0

-4 + 7 = 3

-6 + 1 = – 5

-30 + 20 = – 10

(yukarıdaki işlemlerde ilk satırı -2 ile çarptığımıza dikkat edin.

-2R2 –> R3 = 0 3 -5 | -10

Güncellenen satır 3. satırdır. 2. satır üzerinde işlem yapmış olmamıza rağmen 2. satır değişmez aynı kalır. yalnızca – Ok işaretinin (-2R2 + R3 –> R3) gösterdiği kısım güncellenir.

 

Elementer Satır işlemleri toplamda 3 tanedir. Bu üç tane işlem Lineer Cebirde bizim hayat kurtarıcımız olacaktır.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir