Home / Lineer Cebir / Gauss Yok Etme Metodu

Gauss Yok Etme Metodu

Lineer Denklem sistemlerini matris yöntemiyle çözme sırasında bize yardımcı olan bazı metotlar bulunmaktadır. Bu metotlardan birisi de Gauss Yok etme Metodudur.

Gauss Yok Etme Metodu ile Gauss Jordan Metodunu karıştırmayın, ikisi farklı yöntemlerdir. Bu yazının konusu Gauss Yok Etme Metodudur.

Gauss Yok Etme metodunun uygulanabilmesi için denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olması gerekir. Yani x,y,z şeklinde 3 tane bilinmeyen varsa, bizim bu denklemi Gauss Yok Etme Metodu ile çözebilmemiz için 3 tane denklemimiz bulunmalıdır. Değilse bu yöntemle çözüm uygulayamayız.

Gauss Yok Etme Metodunu uygularken Genişletilmiş Matris yapısını kullanırız. Çözüm için üst üçgen matris elde etmeliyiz. Bunun için de Elementer Satır İşlemleri konusundan yararlanırız.

Üst Üçgen Matris Nedir?

Üst üçgen matrisin ne olduğuna daha önce Matris Çeşitleri konusunda değinmiştik. Tekrar hatırlatmak gerekirse Bir matrisin köşegeninin alt tarafında kalan değerlerin hepsinin sıfır olması o matrisin üst üçgen matris olduğu anlamına gelmekteydi. Aşağıdaki örneğe dikkat edin.

Yukarıdaki iki matris de Üst Üçgen Matristir.

Peki matrisimiz Üst Üçgen değilse ne yaparız? Elementer Satır İşlemlerini boşuna öğrenmedik 🙂 Elementer Satır işlemleri yardımıyla matrisminizi üst üçgen matris haline getiririz. Üst üçgen matrisi elde ettikten sonra Çözümün nasıl olacağını örnek üzerinde göstereceğiz.

Gauss Yok Etme Metodu Örnek Soru

Yukarıdaki Denklem Sistemini Gauss Yok Etme Metodu ile Çözün

ÇÖZÜM :

Birinci Adım: Denklemin Genişletilmiş Katsayılar Matrisi Oluşturulur.

İkinci Adım: Köşegen belirlenir. Köşegenin altında kalan sayıları sıfır yapacağımız için bu gereklidir.

NOT: Yukarıdaki matriste yeşil ile işaretlenmiş sayılar köşegenin altında kalan sayılardır. Bu sayıların hepsi sıfır yapılacaktır.

Üçüncü Adım: Üst Üçgen Matris elde etmek amacıyla elementer satır işlemleri uygulanır. Ancak bunu sıra ile yapmazsanız işlemler çok karıştırılır. İlk olarak 2. satır 1. sütündaki 1 sayısını, daha sonra 3. satır 1. sütundaki 2 sayısını, en son olarak da 3. sayı 2. sütundaki -1 sayısını sıfırlıycaz.

İkinci satır Birinci sütundaki 1 sayısını 0 yapacak olan elementer satır işlemi: Satır 2’den (R2) Satır 1’i (R1) çıkarıp Satır 2’yi güncellersek 1 sayısını sıfırlamış oluruz.

NOT: Dikkat edin, ikinci satır güncellendi, ancak satır 1’deki hiçbir sayı değişmedi. Okun gösterdiği (R2 – R1 –> R2) kısımdaki satır etkilenir, işlemde kullandığımız satır değil.

Üçüncü Satır Birinci Sütundaki 2 sayısını 0 yapacak olan Elementer Satır İşlemi: Birinci satırın iki katını 3. satırdan çıkarırsak 2 sayısını sıfırlarız. (R3 – 2R1 –> R3)

Yukarıdaki işlemde ilk satırı -2 ile çarpıp 3 satıra ekledik ve 3. satırı güncelledik.

Üçüncü Satır İkinci Sütundaki -9 sayısını 0 yapacak olan elementer satır işlemi: Buraya dikkat edin, eğer doğru satırı kullanmazsak, sıfır yaptığımız satırı bozabiliriz. Bu yüzden elementer satır işlemi için ikinci satırı kullanacağız. 9/2R2 + R3 –> R3 (ikinci satırı 9 bölü 2 ile çarpıp üçüncü satıra ekliyoruz yani)

Çözüme geldik artık. Neden mi? Son satıra bir bakın, x ve y değişkenleri zaten sıfır (0), yalnızca z değişkeni -31z/2 = 31 şeklinde. Buradan z değişkenini rahatlıkla buluruz. Ne olur? z = -2 çıkar. Bunu ikinci denkleme korsak y değişkenini buluruz. (çünkü ikinci denklemde x değişkeni zaten sıfır) Bulduğumuz z ve y değişkenlerini de ilk denklemde yerine korsak x değişkenini bulmuş oluruz. Bundan sonrasını yazmıyorum. Temel mantığı aktardım sonuçta, gerisi normal denklem çözümü. Hepinize kolay gelsin.

 

 

 

2 comments

  1. Hocam görüntü işlemenin temeli bu matrisler ve bu algoritmalar bir çok makine öğrenmesinin temel taşı olduğu için makaleniz çok faydalı oldu teşekkürler

  2. Liner cebir matris gauss eğrisi diskriminant ve eliot dalga prensibi gibi matematiksel işlemleri / teorileri fibonocci nin üretmiş olduğu rulet oyununda veya yine borsa grafikler teknik analiz yapabilmek için ( şu an fibonocci kullanılıyor geliştirilmesi açısından ) denediniz mi ? Bu tür çalışma yapar mısınız ?

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir