Home / Matematik / Karmaşık Sayılar i nin Kuvvetleri (değerleri)

Karmaşık Sayılar i nin Kuvvetleri (değerleri)

Karmaşık sayılar konu anlatımı kapsamında bu yazıda i nin kuvvetleri nelerdir buna göz atacağız. Karmaşık sayı nedir diye soranlara tekrar hatırlatmak gerekirse z = a + bi şeklinde ifade edilen sayılara karmaşık sayı diyorduk.

 

z = a + bi 

  • z: karmaşık sayı
  • a: karmaşık sayının reel kısmı
  • b: karmaşık sayının sanal (imajiner kısmıdır)

Peki i nedir? i sayısı kök -1 sayısıdır. \sqrt{-1} sayısını biz matematiksel olarak doğal bir şekilde ifade edemeyeceğimizden ötürü i şeklinde ifade edilmiştir. Yani i^{2} ifadesi -1 sayısına eşit olur.

 

Sanal Birimin (i nin kuvetleri)

Aslında bunları ezberlemeye gerek yok, bilmeniz gereken tek şey i^{2}=-1 olduğudur. Buradan diğer tüm değerleri bulmanız mümkündür.

i^3 = i^2*i = -i

i^4= i^2*i^2= 1

i^5 = i^4 * i = i

i^6 = i^4*i^2= -1

i^7=i^4*i^3=-i

Burada dikkat edilmesi gereken nokta her 4 tekrarda bir aynı değeri elde ettiğimizdir. Yani bu da şu demektir.

i^{4n}=1

i^{4n+1}=i

i^{4n+2}=-1

i^{4n+3}=-i

 

i nin kuvveti örnek soru

i^{98} + i^{-101} toplam değeri nedir?

Çözüm: Eğer i li sayının üssü 4 ile bölünebiliyorsa sonuç 1’dir. Daha sonrakileri bulmak için i ile çarpmak yeterli olur.

98 mod 4 = 2

98 ile 4’ün bölümünden kalan 2 ise şunu yaparız; 4 ile tam bölündüğünde sonuç= 1 ise 1 kaldığı durumda 1*i = i olur, 2 kaldığı durumda tekrar i ile çarparız, i*i = -1 olur. Yani i^{98}=-1

şimdi -101’e bakalım. üssün – olmasına dikkat edin. -‘li ifade olduğu için -26*4 + 3 olarak düşünmeliyiz. (tersten de düşünebilirsiniz, yani -25*4 – 1 şeklinde, ama yine o -1 sayısının i^{4n+3}=-i ifadesine denk olduğunu bilmek gerekir. i^{-101}=-i olur.

Buradan; sonuç i^{98} + i^{-101} = -1 - i olacaktır.

 

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir